Построение для трёх точек

.

Построение выполняется на основе линейной интерполяции, которую мы уже применяли для отрезков. В частности на коэффициенте , который находится в диапазоне .

Возьмём три произвольные точки , , , и соединим их направленными отрезками и .

От начала каждого отрезка основываясь на коэффициенте отложим точки и соответственно:

Объединим эти точки в направленный отрезок и таким же образом отложим на нём точку :

Таким образом, в зависимости от параметра точка опишет дугу с начальной точкой и конечной .

Формула

Чтоб не считать промежуточные точки и сократить количество операций, выведем конечную формулу для нахождения координат точки в зависимости от параметра .

Как вы заметили выше, формулы для осей практически одинаковы и отличаются только именем оси. Посему для удобства записи мы посчитаем только для оси , а уже конечную формулу запишем для каждой координаты.

Выпишем все необходимые нам координаты точек:

Раскроем скобки:

Выразим как сумму слагаемых:

Подставим значения:

Раскроем скобки:

Подставим слагаемые и заодно отсортируем координаты:

Выразим как сумму слагаемых:

Вынесем общие множители за скобку:

Как вы заметили, в случае у нас получился квадрат разности, а в случае можно вынести за скобку . Сделаем это:

Вот мы и получили конечную формулу. Опустим знак умножения для пущей красоты:

Last modified: 14 December 2024